Home » Статьи » Математика »

 
 

Магические квадраты

 

Статьи


3. Составляем магический квадрат

В данной части работы мы в основном следуем книге [2].  Если некоторое количество порядковых чисел, на­пример, все целые числа от 1 до 16 или от 1 до 9, или от 1 до 25, или от 1 до 100 и т д., расположены в форме квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали квадрата одина­ковы, то такой квадрат, как было сказано, называется магическим,  или волшебным.
Количеством клеток (чисел) в каждом, ряду магиче­ского квадрата определяет его порядок. Магический квадрат третьего порядка имеет в каждом ряду 3 клетки, магический квадрат четвертого порядка имеет в каждом ряду  4  клетки    и т. д.
Идея составления магического квадрата, возникшая около семи тысячелетий назад, постепенно увлекла как любителей математических развлечений, так и специа­листов-математиков.
Начались и до сих пор продолжаются поиски теоре­тических обоснований этого удивительного и красивого явления в мире чисел. За сотни лет придуманы сотни остроумных способов и правил составления различных магических  квадратов.
Познакомиться с некоторыми наиболее инте­ресными из них.
Будем действовать подобно радиолю­бителям: Еще не зная во всех подробностях теории радио­приема, они уже умеют собирать радиоприемник из готовых деталей по готовым схемам. Наши детали — числа, а панель (доска, на которой монтируются детали) — квадрат с  клетками.
Квадраты нечетного порядка. Требуется, положим, «смонтировать» хотя бы по одному магическому квадрату всевозможных нечетных порядков. Это можно сделать по единой схеме, а схем придумано много. Вот и вос­пользуемся одной из них для составления, например, квадрата пятого порядка, после чего вы эту схему без труда можно применить к квадратам третьего, седьмого и дру­гих  нечетных  порядков.
Строим квадрат ABCD (см. рисунок 3.1) с 25 клетками и временно дополняем его до симметричной ступенчатой фигуры (изображенной на том же рисунке) со ступеньками в одну клетку. В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху — вниз — направо 25 целых чисел от 1 до 25. А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата ABCD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере — на пять. Так, в соответст­вии с этим правилом, число 6 надо поместить в клетку под числом 18, а число 24 — выше числа 12; далее, 1 — ниже 13, а 25 — выше 13; 16 — правее 8, а 4 — левее 12 и т. д.
Получится магический квадрат, изображенный на ри­сунке 3.2 на

следующей странице.
Нетрудно убедиться в том, что в получившемся квад­рате выполняются основные свойства магического квадрата, то есть сумма чисел вдоль каждой диагонали, вдоль каждой горизонтали и вертикали одна и та же и равна 65. Это  число  называется  константой  квадрата  пятого  порядка.
Но у получившегося квадрата обнаруживается и дополнительное свойство: все пары чисел,  расположенные

                 
                 
  A           B  
    11 24 7 20 3    
    4 12 25 8 16    
    17 5 13 21 9    
    10 18 1 14 22    
    23 6 19 2 15    
  D           C  
                 
        1        
  A   6   2   B  
    11   7   3    
  16   12   8   4  
21   17   13   9   5
  22   14   18   10  
    23   19   15    
  D   24   20   C  
        25        
Рисунок  3.2                                                                                                                                        Рисунок  3..3 

симметрично   относительно    центральной   клетки,   дают одинаковые суммы.  Например,
1+25 = 19+7 = 18+8 = 23 + 3 = 6+20= 2+24 = 4+22
и т. д.
Магические квадраты,  обладающие таким свойством, называются симметрическими.

Квадраты порядка, кратного четырем (n=4k). Для составления  какого-либо магического  квадрата, порядка
n = 4,   8,   12, ...,   4k
удобна,   например,  такая   простая схема:

    • разместить числа в клетках заданного квадрата в  порядке  их  возрастания   (в   натуральном  порядке),
    • выделить   по   углам   заданного   квадрата   четыре квадрата со сторонами  n/4 и в центре один квадрат со­
      стороной n/2 (например,   как это сделано ниже на рисунках 3.4 и 3.6;
    • в   пяти   выделенных   квадратах   обменять   местами числа, расположенные симметрично относительно центра

     

    1 2 3 4   16 2 3 13
    5 6 7 8 5 11 10 8
    9 10 11 12 9 7 6 12
    13 14 15 16 4 14 15 1
    рисунок 3.4 рисунок 3.5

     

    1 2 3 4 5 6 7 8   64 63 3 4 5 6 58 57
    9 10 11 12 13 14 15 16 56 55 11 12 13 14 50 49
    17 18 19 20 21 22 23 24 17 18 46 45 44 43 23 24
    25 26 27 28 29 30 31 32 25 26 38 37 36 35 31 32
    33 34 35 36 37 38 39 40 33 34 30 29 28 27 39 40
    41 42 43 44 45 46 47 48   41 42 22 21 20 19 47 48
    49 50 51 52 53 54 55 56 16 15 51 52 53 54 10 9
    57 58 59 60 61 62 63 64   8 7 59 60 61 62 2 1
    рисунок 3.6   Рисунок 3.7  

    заданного квадрата; это значит, что в натуральном рас­положении чисел квадрата четвертого порядка надо поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10 (рисунок 3.5), а в натуральном расположении чисел квадрата восьмого порядка надо поменять местами 1 и 64, 10 и 55, 2 и 63,  9 и 56, 19 и 46, 28 и 37, 20 и 45, 27 и 38, 21 и 44  и т. д. (рисунок 3.7).
    Квадраты,  составленные по  указанной  схеме,  будут всегда   магическими  симметрическими.

     

    Pages: 1 2 3 4 5

    By in on 16/01/2013